Един метод (древен :-) за умножение на числа.

Този метод го прочетох в една биграфична книга за Непер.
Най-лесно се разбира като се демонстрира, така че нека имаме две числа 1247 и 908, които ще умножаваме.
Вземаме лист хартия и разчератаваме следната таблица:



Числата 1247 и 908 ги разполагаме по следният начин в таблицата:



Умножаваме последното число на 1247 7 с първото на 908 т.е. 9, като резултата 63 го записваме в таблицата по следният начин:



Продължаваме по същият начин и получаваме:



Сега сумираме по диагоналите (от най-долният в дясно) и получаваме резултата:


а именно:
1132273 т.е.
1247 * 908 = 1132273

Маркиране на доказателството за определяне на числото е.

Нека A = a₁a₂ ... a_n-1a_n и
B = a₁a₂ ... a_n-1 + e.a_n
където e е определено в: 10^{L(p) - 1}≡ e (mod p)
? Ако p | B => p |A?
(*)10^n-2a₁+ ... + 10⁰a_n-1 + e.a_n≡ 0 (p) ?=>?
10^n-1a₁+ ... + 10⁰a_n ≡ 0 (p)

10^n-1a₁+ ... + 10⁰a_n ≡ 0(p) =>
10.(10^n-2a₁+ ... + 10⁰a_n-1) + 10⁰a_n ≡ 0(p)

изразът в горните скоби е:
10^n-2a₁+ ... + 10⁰a_n-1 ≡ -e.a_n (p), заместваме го в горният израз =>
10.(-e.a_n) + a_n ≡ 0 (p)
-10.(10^{L(p) - 1}.a_n) + a_n ≡ 0 (p)
-10^L(p).a_n + a_n ≡ 0 (p)
но 10^L(p) ≡ 1 (p) =>
-a_n + a_n ≡ 0 (p)
което е вярно.
Обратното доказателство може да се докаже с умножение по 10 на (*).