Аполоний, Пергски, ок. 262 – 190 г. пр. Хр.; древногръцки математик. В осемтомното си съчинение “Коники”, от което са се запазили 4 тома на гръцки и 3 на арабски превод Аполоний излага изчерпателно античното учение за коничните сечения, което оказва стимулиращо влияние върху европейските математици чак до XVI и XVII в.
"Математически енциклопедичен речник" В.Гелерт и др. "Наука и изкуство"
неделя, 1 февруари 2009 г.
неделя, 14 декември 2008 г.
Един метод (древен :-) за умножение на числа.
Този метод го прочетох в една биграфична книга за Непер.
Най-лесно се разбира като се демонстрира, така че нека имаме две числа 1247 и 908, които ще умножаваме.
Вземаме лист хартия и разчератаваме следната таблица:
Числата 1247 и 908 ги разполагаме по следният начин в таблицата:
Умножаваме последното число на 1247 7 с първото на 908 т.е. 9, като резултата 63 го записваме в таблицата по следният начин:
Продължаваме по същият начин и получаваме:
Сега сумираме по диагоналите (от най-долният в дясно) и получаваме резултата:
а именно:
1132273 т.е.
1247 * 908 = 1132273
Най-лесно се разбира като се демонстрира, така че нека имаме две числа 1247 и 908, които ще умножаваме.
Вземаме лист хартия и разчератаваме следната таблица:
Числата 1247 и 908 ги разполагаме по следният начин в таблицата:
Умножаваме последното число на 1247 7 с първото на 908 т.е. 9, като резултата 63 го записваме в таблицата по следният начин:
Продължаваме по същият начин и получаваме:
Сега сумираме по диагоналите (от най-долният в дясно) и получаваме резултата:
а именно:
1132273 т.е.
1247 * 908 = 1132273
Маркиране на доказателството за определяне на числото е.
Нека A = a1a2 ... an-1an и
B = a1a2 ... an-1 + e.an
където e е определено в: 10L(p) - 1≡ e (mod p)
? Ако p | B => p |A?
(*)10n-2a1+ ... + 100an-1 + e.an≡ 0 (p) ?=>?
10n-1a1+ ... + 100an ≡ 0 (p)
10n-1a1+ ... + 100an ≡ 0(p) =>
10.(10n-2a1+ ... + 100an-1) + 100an ≡ 0(p)
изразът в горните скоби е:
10n-2a1+ ... + 100an-1 ≡ -e.an (p), заместваме го в горният израз =>
10.(-e.an) + an ≡ 0 (p)
-10.(10L(p) - 1.an) + an ≡ 0 (p)
-10L(p).an + an ≡ 0 (p)
но 10L(p) ≡ 1 (p) =>
-an + an ≡ 0 (p)
което е вярно.
Обратното доказателство може да се докаже с умножение по 10 на (*).
B = a1a2 ... an-1 + e.an
където e е определено в: 10L(p) - 1≡ e (mod p)
? Ако p | B => p |A?
(*)10n-2a1+ ... + 100an-1 + e.an≡ 0 (p) ?=>?
10n-1a1+ ... + 100an ≡ 0 (p)
10n-1a1+ ... + 100an ≡ 0(p) =>
10.(10n-2a1+ ... + 100an-1) + 100an ≡ 0(p)
изразът в горните скоби е:
10n-2a1+ ... + 100an-1 ≡ -e.an (p), заместваме го в горният израз =>
10.(-e.an) + an ≡ 0 (p)
-10.(10L(p) - 1.an) + an ≡ 0 (p)
-10L(p).an + an ≡ 0 (p)
но 10L(p) ≡ 1 (p) =>
-an + an ≡ 0 (p)
което е вярно.
Обратното доказателство може да се докаже с умножение по 10 на (*).
събота, 4 октомври 2008 г.
За определяне на числото e във алгоритъма за намиране на признаци за делимост на прости числа.
Преди време ми бе зададен въпрос може ли да се намери това число. Да, може. Определянето му е една стъпка по-близо до доказването свойствата, които се твърдят в:
Универсален алгоритъм за намиране на признаци за делимост на прости числа.(Хипотеза)
и
Признаци за делимост на прости числа.
Нека са в сила положенията в горните две статии, тогава:
10L(p) - 1≡ e (mod p), където L(p) е дължината на периода на простото число (prime number) p.
Горното твърдение не е трудно да се докаже и това ще направя в следващият пост.
Универсален алгоритъм за намиране на признаци за делимост на прости числа.(Хипотеза)
и
Признаци за делимост на прости числа.
Нека са в сила положенията в горните две статии, тогава:
10L(p) - 1≡ e (mod p), където L(p) е дължината на периода на простото число (prime number) p.
Горното твърдение не е трудно да се докаже и това ще направя в следващият пост.
Примери за признаци за делимост на някои прости числа (prime numbers).
Продължение на:
Универсален алгоритъм за намиране на признаци за делимост на прости числа.(Хипотеза)
и
Признаци за делимост на прости числа.
Нека имаме цялото число z=a11a12 ... a1(n-1) , представено в десетична бройна система като a1a2 ... an-1 an са цифрите на z. Тогава:
7 | a1a2 ... an-1 + 5.an
11 | a1a2 ... an-1 + 10.an
13 | a1a2 ... an-1 + 4.an
17 | a1a2 ... an-1 + 12.an
19 | a1a2 ... an-1 + 2.an
23 | a1a2 ... an-1 + 7.an
29 | a1a2 ... an-1 + 3.an
31 | a1a2 ... an-1 + 28.an
37 | a1a2 ... an-1 + 26.an
43 | a1a2 ... an-1 + 13.an
47 | a1a2 ... an-1 + 33.an
53 | a1a2 ... an-1 + 16.an
59 | a1a2 ... an-1 + 6.an
Универсален алгоритъм за намиране на признаци за делимост на прости числа.(Хипотеза)
и
Признаци за делимост на прости числа.
Нека имаме цялото число z=a11a12 ... a1(n-1) , представено в десетична бройна система като a1a2 ... an-1 an са цифрите на z. Тогава:
7 | a1a2 ... an-1 + 5.an
11 | a1a2 ... an-1 + 10.an
13 | a1a2 ... an-1 + 4.an
17 | a1a2 ... an-1 + 12.an
19 | a1a2 ... an-1 + 2.an
23 | a1a2 ... an-1 + 7.an
29 | a1a2 ... an-1 + 3.an
31 | a1a2 ... an-1 + 28.an
37 | a1a2 ... an-1 + 26.an
43 | a1a2 ... an-1 + 13.an
47 | a1a2 ... an-1 + 33.an
53 | a1a2 ... an-1 + 16.an
59 | a1a2 ... an-1 + 6.an
Абонамент за:
Публикации (Atom)
