Обобщена синусова теорема за тетраедър. Приложение на векторното произведение.

Нека имаме векторите:

Разглеждаме хипервекторите:

 

Тогава:

 

където:

 

Но от друга страна имаме:

 

като под

 

разбираме представителите на

 

 

Тогава смесените произведения

 

са равни на 0. Така получаваме:

 

Но знаем, че

 

където h е дължината на перпендикуляра спуснат от края на

чрез преобразувания получаваме:

Окончателно:

Синусова теорема за тетраедър (сферичен триъгълник). Приложение на векторното произведение.

Дефиниция: 

Нека имаме хипервекторите

, тогава под векторно произведение на

ще разбираме векторното произведение на техните представители.

Нека имаме векторите:

 



като:

 Означаваме:

  

Нека имаме  хипервекторите:

 Тогава:

Извеждането на формулата за n-мерният случай е аналогично. В следващ пост ще бъде изложено и нейното доказателсво.

Косинусова теорема за тетраедър (сферичен триъгълник). Приложение на векторното произведение.

Нека имаме векторите:

 като

Означаваме:

Нека имаме хипервекторите  определени по следният начин:

Означаваме:

 

 

 Прилагаме дефиницията за скаларно произведение за хипервектори:

  

което представлява и косинусовата теорема за страните на сферичен триъгълник.

По аналогичен начин може да изведе и косинусовата теорема за n-мерна сфера.

Скаларно произведение на групи от вектори.

След представянето на векторното произведение за n-мерни вектори, ще разгледаме и скаларното произведение.

Дефиниция: n - мерен хипервектор ще наричаме всеки паралелепипед определен чрез наредената n – торка вектори . Представител на P ще наричаме вектора . Посоката на P се определя от p.

Дефиниция: Нека имаме хипервекторите , тогава ъгъл между хипервекторите P и Q ще наричаме ъгъла между техните представители.

Дефиниция: Нека имаме хипервекторите , тогава под скаларно произведение на P и Q ще разбираме скаларното произведение на техните представители.

Нека имаме хипервектора , като








Разглеждаме детерминантите:

образувани от векторите на P. Тези детерминанти ще ги означаваме с гръцки букви и ще ги наричаме координати на хипервектора P.

Тогава . . Вече показахме, че .

От вече доказаната формула:



, можем да получим и формулата