Един метод (древен :-) за умножение на числа.

Този метод го прочетох в една биграфична книга за Непер.
Най-лесно се разбира като се демонстрира, така че нека имаме две числа 1247 и 908, които ще умножаваме.
Вземаме лист хартия и разчератаваме следната таблица:



Числата 1247 и 908 ги разполагаме по следният начин в таблицата:



Умножаваме последното число на 1247 7 с първото на 908 т.е. 9, като резултата 63 го записваме в таблицата по следният начин:



Продължаваме по същият начин и получаваме:



Сега сумираме по диагоналите (от най-долният в дясно) и получаваме резултата:


а именно:
1132273 т.е.
1247 * 908 = 1132273

Маркиране на доказателството за определяне на числото е.

Нека A = a₁a₂ ... a_n-1a_n и
B = a₁a₂ ... a_n-1 + e.a_n
където e е определено в: 10^{L(p) - 1}≡ e (mod p)
? Ако p | B => p |A?
(*)10^n-2a₁+ ... + 10⁰a_n-1 + e.a_n≡ 0 (p) ?=>?
10^n-1a₁+ ... + 10⁰a_n ≡ 0 (p)

10^n-1a₁+ ... + 10⁰a_n ≡ 0(p) =>
10.(10^n-2a₁+ ... + 10⁰a_n-1) + 10⁰a_n ≡ 0(p)

изразът в горните скоби е:
10^n-2a₁+ ... + 10⁰a_n-1 ≡ -e.a_n (p), заместваме го в горният израз =>
10.(-e.a_n) + a_n ≡ 0 (p)
-10.(10^{L(p) - 1}.a_n) + a_n ≡ 0 (p)
-10^L(p).a_n + a_n ≡ 0 (p)
но 10^L(p) ≡ 1 (p) =>
-a_n + a_n ≡ 0 (p)
което е вярно.
Обратното доказателство може да се докаже с умножение по 10 на (*).

За определяне на числото e във алгоритъма за намиране на признаци за делимост на прости числа.

Преди време ми бе зададен въпрос може ли да се намери това число. Да, може. Определянето му е една стъпка по-близо до доказването свойствата, които се твърдят в:
Универсален алгоритъм за намиране на признаци за делимост на прости числа.(Хипотеза)
и
Признаци за делимост на прости числа.
Нека са в сила положенията в горните две статии, тогава:

10^{L(p) - 1}≡ e (mod p), където L(p) е дължината на периода на простото число (prime number) p.
Горното твърдение не е трудно да се докаже и това ще направя в следващият пост.

Примери за признаци за делимост на някои прости числа (prime numbers).

Продължение на:
Универсален алгоритъм за намиране на признаци за делимост на прости числа.(Хипотеза)
и
Признаци за делимост на прости числа.

Нека имаме цялото число z=a₁₁a₁₂ ... a_1(n-1) , представено в десетична бройна система като a₁a₂ ... a_n-1 a_n са цифрите на z. Тогава:

7 | a₁a₂ ... a_n-1 + 5.a_n
11 | a₁a₂ ... a_n-1 + 10.a_n
13 | a₁a₂ ... a_n-1 + 4.a_n
17 | a₁a₂ ... a_n-1 + 12.a_n
19 | a₁a₂ ... a_n-1 + 2.a_n
23 | a₁a₂ ... a_n-1 + 7.a_n
29 | a₁a₂ ... a_n-1 + 3.a_n
31 | a₁a₂ ... a_n-1 + 28.a_n
37 | a₁a₂ ... a_n-1 + 26.a_n
43 | a₁a₂ ... a_n-1 + 13.a_n
47 | a₁a₂ ... a_n-1 + 33.a_n
53 | a₁a₂ ... a_n-1 + 16.a_n
59 | a₁a₂ ... a_n-1 + 6.a_n

Универсален алгоритъм за намиране на признаци за делимост на прости числа(prime numbers).

Тук ще продължа статията Признаци за делимост на прости числа. Ще се опитам да формулирам общ признак за делимост на дадено число на дадено друго просто число.

Нека имаме цяло число z=a₁₁a₁₂ ... a_1(n-1)a_1n и просто число p(prime number). Където a₁₁, a₁₂ , ... , a_1(n-1), a_1n са цифрите на числото z в десетична бройна система.
Образуваме:
z₁₁=a₁₁a₁₂ ... a_1(n-1)
и
z₁₂= a_1n
Тогава твърдя, че ако p|z съществува най-малко цяло число e, такова че:
p | z₁₁ + z_12*e.
Нека сега да искаме да проверим дали p|z (при горните означения и намереното e). Образуваме:
(1) z₁ = z₁₁ + z_12*e.
За z₁ образуваме:
z₂₁=a₂₁a₂₂ ... a_2(n-2)
и
z₂₂= a_2(n-1)
където a₂₁a₂₂ ... a_2(n-2)a_2(n-1) са цифрите на числото z₁ в десетичена бройна система.
Нека z₂ = z₂₁ + z_22*e.
За z₂ изпълняваме същата операция (1) както за z₁ . Продължаваме, догато не достигнем в (1) число, за което в операцията (1) се получава едно и съща стойност или най-малкото от редицата z, z₁, z₂, ... , z_к. Така получено число z_к е вече достатъчно малко и лесно може да се провери дели ли се на p.
Така: ако искаме да проверим дали дадено число z се дели на просто число p, то за така намереното e прилагаме горният алгоритъм.Ако достигнем до число, което се дели на p, то и z се дели на p, а ако достигнем до число, което не се дели на p, то и z не се дели на p.
В следващ блог ще разгледам някои примери.

Хамилтон

Хамилтон, Уилям Роуън, род. 04.08.1805 г. в Дъблин, почива 02.09.1865 в Дънсик.
От 1824 г. Хамилтон следва в Дъблин и още през 1827 г. преди да е завършил следването си, става професор по астрономия и кралски астроном на Ирландия. Има важни работи в областта на алгебрата и е откривател на кватернионите. Изключително важни са приносите му към геометричната оптика и класическата механика, между които са и каноничните уравнения и принципът на Хамилтън.
"Математически енциклопедичен речник" В.Гелерт и др. "Наука и изкуство"

Вен

Вен, Джон роден на 04.08.1834 г. в Хъл, почива на 04.04.1923 г. в Кеймбридж. Става свещеник през 1859 г. и работи като професор по логика и натурална философия в Кеймбридж. Развива индуктивна и методологична логика и се опитва да я свърже с дедуктивната и формализирана логика на Хамилтон.
"Математически енциклопедичен речник" В.Гелерт и др. "Наука и изкуство"

Принцеса или тъгър - II

Първи ден - второ изпитание
(Продължение на Принцеса или тигър - I)

И така, първият затворник си спасил живота и отвел със себе си прекрасна принцеса. Надписите на стаите били сменени - съответно и обитателите на стаите.
Ето какви надписите закачени на вратите на стаите:

I - ва стая

В поне една от двете стаи има принцеса.

II - ра стая

Тигърът е в другата стая.

- Истинни ли са твърденията на надписите? - попитал вторият затворник.
- Може и двете да са истина, а може и двете да са лъжа - отговорил царят.
Коя от стаите трябва да избере затворникът?

Принцеса или тъгър - I

В едно царство управлявал цар. Веднъж той казал на своя министър:
- Трябва да измисля нещо за мойте затворници осъдени на смърт. Да им дам възможност да се спасят, но възможност която ще покаже, че заслужават да живеят.
- Чудесно Ваше Величество! - възликнал министърът.
- Ако един затворник не е глупак и умее да расъждава логично той ще може да спаси живота си и ще получи прекрасна невеста за жена.
- Блестяща идея Ваше Величество! - какво друго могъл да каже министърът.
За първият ден били предвидени три изпитания. При това царят казал на на затворника, че в хода на всички три изпитания във всяка стая ще се намира или принцеса, или тигър, но е напълно възможно във всички стаи да има само тигри или само принцеси. Затворника трябва да избере една от двете стаи, ако в стаята има тъгър затворникът става храна за тъгъра, иначе ако има принцеса ще се ожени за нея.
- А ако във всички стаи има тигри? - попитал затворникът.
- Смятай, че не ти е провървяло.
- А ако във всички стаи има принцеси? - отново попитал затворникът.
- Е, тогава си късметлия.
- Добре, но ако в една стая има принцеса в друга тигър, какво да правя тогава ?!?!?
- Е, тогава нещата зависят от теб.
И царят насочил погледа на затворника към надписите на вратите на стаите:

Първи ден - първо изпитание

I - стая
В тази стая се намира принцеса, а в другата стая има тигър.
II - стая
В една от тези стаи има принцеса; освен това в една от тези стаи има тигър.

- А истина ли е това което е написано на надписите? - попитал затворникът.
- На едната е истина - отговорил царят - на другата не е.

Бихте ли могли да разберете къде е принцесата? Разбира се, ако не предпочитате тигър.
(По Реймънд Смалиан)

Тъждество на Якоби.

Тъждество на Якоби в n-мерният случай.

pdf - документ

Кавалиери

Кавалиери, Франческо Бонавентура, роден около 1598 г. в Болоня, почива на 03.12.1647 г. в Болоня. Бил член на ордена на йезуитите. Заниманията си с математика започва твърде късно. Силно влияние върху него упражнява Галилео Галилей. От 1629 г. е професор по математика в Болоня. Нареченият на негово име принцип се появил в книката му "Geometria indivisibilibus" (1635 g.) ["Геометрия на неделимите"].
"Математически енциклопедичен речник" В.Гелерт и др. "Наука и изкуство"

Пример за изчисляване на детерминанти с n-мерни вектори.

Пример за изчисляване на детерминанти с n-мерни вектори.(pdf)

Продължение на:

Векторно произведение в n – мерният случай.

и

Векторно произведение в n-мерния случай - Свойства

Абел

Абел, Нилс Хенрик, род. 5.8.1802 г. във Финьой - син на селски свещеник. Поч. 6.4.1829 г. в Християния (Осло). През време на следването си в Християния Абел изследва решимостта в радикали на уравнения от пета степен. През 1824 г. тръгвайки от едно свое предполагаемо решение, той доказва невъзможността за решаване в радикали на уравненията от степен, по-висока от четвърта. Благодарение на стипендията, която получава от това постижение, има възможност да предприеме пътувания до Берлин, Италия и Франция. След това работи в университета в Християния и умира от туберколоза само няколко дни, преди да получи назначение за професор в Берлинския университет. Освен теоремата за нерешимост в радикали Абел открива уравненията носеши днес неговото име, поставя основите на теорията на алгебричните функции и изследва сходимостта на безкрайни редове. Наред с Якоби Абел е създател на теорията на елиптичните функции, понеже Гаус не публикува резултатите си в тази област.
"Математически енциклопедичен речник" В.Гелерт и др. "Наука и изкуство"

Векторно произведение в n – мерният случай.

Векторно произведение в n – мерният случай - първа част.
Представлява елементарно обобщение на познатото векторно произведение в n-мерния случай.
Препратка към pdf документ: pdf

Векторно произведение в n-мерния случай - Свойства

Векторно произведение в n – мерният случай - втора част.
Излагат се свойствата на векторното произведение в n-мерния случай.
Препратка към pdf документ: pdf

Тригонометрични формули

Основни тригонометрични формули

Биномни формули.

Някои формули свързани с биномни коефициенти

Задача - заета

Покажете, че ако m, n, p и q са цели числа и mn + pq се дели на m - p, то и mq + np се дели на m - p.

Решение:

m - p | mn + pq => съществува к₁ - цяло число:

(1) mn + pq = k₁(m - p).

Питаме се: съществува ли k₂ - цяло число:

(2) mq + np = k₂(m - p) ?

Към двете страни на (1) прибавяме mq + np =>

mn +pq + mq + np = k₁(m - p) + mq + np =>

mq + np = k₁(m - p) + mq - pq + np -mn =>

mq + np = k₁(m - p) + q(m - p) - n(m - p) =>

mq + np = (m - p) (k₁ + q - n), с което задачата е доказана.

Формули

За едно построение на хипербола и елипса.

Ще покажем, че всъщност елипсата и хиперболата не са нищо друго освен парабола.

Първо да си припомним какво представляват коничните сечения. За окръжността няма какво да говорим. Мисля, че всеки знае дефиницията за окръжност. Какво представлява параболата? Накратко: нека имаме една права b и точка F не лежаща на b. Тогава множеството от точки в равнината, които се намират на равни разстояния от точката F и правата b образуват парабола. Това най-ясно се вижда от следният чертеж.















Тук |Т1 P1 | = |P1 F|, |Т2 P2 | = |P2 F| и т.н. Като точките P1, P2, …. са от параболата. Как всъщност се построява параболата? Избираме си върху правата b произволна точка T. Свързваме я с F. Издигаме от T перпендикуляр t. Построяваме симетралата s на TF. Пресечната точка на s и t е точка от нашата парабола. Надявам се да съм обяснил достатъчно ясно как се построява парабола. Сега да си зададем следният въпрос: Каква фигура ще получим, ако построим парабола използвайки вместо права b някаква крива например окръжност. Няма да пояснявам какво е разстояние между точка и окръжност, тъй като това се знае от училище. И така нека имаме една окръжност k и точка F лежаща извън k.





















Построяваме лъч с начало О и точка М1 като М1 лежи в дъгата MH, където FH е допирателна към k през F. Построяваме H1 на равни разстояния от F и M1 т.е. построяваме точка от парабола с фокус F и спрямо k. Но всъщност лесно се вижда, че H1 е и точка от хипербола, защото каквато и точка Hi да построим (по този начин) ще имаме |OHi| - |HiF| ще е константа. Така построявайки парабола спрямо F и k всъщност построяваме хипербола. Окончателно ще получим:

Признаци за делимост на прости числа.

Какво представлява признака за делимост? Например нека имаме числото 123237. По признака за делимост на 3 веднага виждаме, че то се дели на 3, защото сборът от числата му се дели на 3. т.е. признака за делимост е правило, което позволява да проверим дали дадено число p се дели на друго число q без да извършваме операцията деление p = q.t+r директно, а в някакъв редуциран вид т.е. без да намираме в явен вид t.
И така, знаем алгоритъм за деление на 2, 3, 5. Нека имаме числото А=868. Питаме се дели ли се това число на 7? Естествено не е трудно да се пресметне и на ръка, но да разгледаме следният алгоритъм:

Образуваме
А₁ = 86 + 5*8 = 126
А₂ = 12 + 5*6 = 42
А₃ = 4 + 5*2 = 14
А₃ вече се дели на 7. От тук и 868 също се дели на 7. Какво представлява точно алгоритъма?
От дадено число

образуваме:



Тогава, ако А се дели на 7, то и А₁ се дели на 7. Така имаме и признак за делимост на 7. Аналогично за например за 11 ще имаме:



Също така за всяко просто число не е трудно да се намери такъв алгоритъм. За 23 например ще имаме: