Абел

Абел, Нилс Хенрик, род. 5.8.1802 г. във Финьой - син на селски свещеник. Поч. 6.4.1829 г. в Християния (Осло). През време на следването си в Християния Абел изследва решимостта в радикали на уравнения от пета степен. През 1824 г. тръгвайки от едно свое предполагаемо решение, той доказва невъзможността за решаване в радикали на уравненията от степен, по-висока от четвърта. Благодарение на стипендията, която получава от това постижение, има възможност да предприеме пътувания до Берлин, Италия и Франция. След това работи в университета в Християния и умира от туберколоза само няколко дни, преди да получи назначение за професор в Берлинския университет. Освен теоремата за нерешимост в радикали Абел открива уравненията носеши днес неговото име, поставя основите на теорията на алгебричните функции и изследва сходимостта на безкрайни редове. Наред с Якоби Абел е създател на теорията на елиптичните функции, понеже Гаус не публикува резултатите си в тази област.
"Математически енциклопедичен речник" В.Гелерт и др. "Наука и изкуство"

Векторно произведение в n – мерният случай.

Векторно произведение в n – мерният случай - първа част.
Представлява елементарно обобщение на познатото векторно произведение в n-мерния случай.
Препратка към pdf документ: pdf

Векторно произведение в n-мерния случай - Свойства

Векторно произведение в n – мерният случай - втора част.
Излагат се свойствата на векторното произведение в n-мерния случай.
Препратка към pdf документ: pdf

Тригонометрични формули

Основни тригонометрични формули

Биномни формули.

Някои формули свързани с биномни коефициенти

Задача - заета

Покажете, че ако m, n, p и q са цели числа и mn + pq се дели на m - p, то и mq + np се дели на m - p.

Решение:

m - p | mn + pq => съществува к₁ - цяло число:

(1) mn + pq = k₁(m - p).

Питаме се: съществува ли k₂ - цяло число:

(2) mq + np = k₂(m - p) ?

Към двете страни на (1) прибавяме mq + np =>

mn +pq + mq + np = k₁(m - p) + mq + np =>

mq + np = k₁(m - p) + mq - pq + np -mn =>

mq + np = k₁(m - p) + q(m - p) - n(m - p) =>

mq + np = (m - p) (k₁ + q - n), с което задачата е доказана.

Формули

За едно построение на хипербола и елипса.

Ще покажем, че всъщност елипсата и хиперболата не са нищо друго освен парабола.

Първо да си припомним какво представляват коничните сечения. За окръжността няма какво да говорим. Мисля, че всеки знае дефиницията за окръжност. Какво представлява параболата? Накратко: нека имаме една права b и точка F не лежаща на b. Тогава множеството от точки в равнината, които се намират на равни разстояния от точката F и правата b образуват парабола. Това най-ясно се вижда от следният чертеж.















Тук |Т1 P1 | = |P1 F|, |Т2 P2 | = |P2 F| и т.н. Като точките P1, P2, …. са от параболата. Как всъщност се построява параболата? Избираме си върху правата b произволна точка T. Свързваме я с F. Издигаме от T перпендикуляр t. Построяваме симетралата s на TF. Пресечната точка на s и t е точка от нашата парабола. Надявам се да съм обяснил достатъчно ясно как се построява парабола. Сега да си зададем следният въпрос: Каква фигура ще получим, ако построим парабола използвайки вместо права b някаква крива например окръжност. Няма да пояснявам какво е разстояние между точка и окръжност, тъй като това се знае от училище. И така нека имаме една окръжност k и точка F лежаща извън k.





















Построяваме лъч с начало О и точка М1 като М1 лежи в дъгата MH, където FH е допирателна към k през F. Построяваме H1 на равни разстояния от F и M1 т.е. построяваме точка от парабола с фокус F и спрямо k. Но всъщност лесно се вижда, че H1 е и точка от хипербола, защото каквато и точка Hi да построим (по този начин) ще имаме |OHi| - |HiF| ще е константа. Така построявайки парабола спрямо F и k всъщност построяваме хипербола. Окончателно ще получим:

Признаци за делимост на прости числа.

Какво представлява признака за делимост? Например нека имаме числото 123237. По признака за делимост на 3 веднага виждаме, че то се дели на 3, защото сборът от числата му се дели на 3. т.е. признака за делимост е правило, което позволява да проверим дали дадено число p се дели на друго число q без да извършваме операцията деление p = q.t+r директно, а в някакъв редуциран вид т.е. без да намираме в явен вид t.
И така, знаем алгоритъм за деление на 2, 3, 5. Нека имаме числото А=868. Питаме се дели ли се това число на 7? Естествено не е трудно да се пресметне и на ръка, но да разгледаме следният алгоритъм:

Образуваме
А₁ = 86 + 5*8 = 126
А₂ = 12 + 5*6 = 42
А₃ = 4 + 5*2 = 14
А₃ вече се дели на 7. От тук и 868 също се дели на 7. Какво представлява точно алгоритъма?
От дадено число

образуваме:



Тогава, ако А се дели на 7, то и А₁ се дели на 7. Така имаме и признак за делимост на 7. Аналогично за например за 11 ще имаме:



Също така за всяко просто число не е трудно да се намери такъв алгоритъм. За 23 например ще имаме: